Überlegungen zur Geometrie eines Cassegrain-Reflektors.

Als ich mir bei meiner Messerei den Cassegrain-Reflektor der Parabolantenne etwas näher ansah, war ich - das sei eingestanden - etwas verwirrt. Ich hatte zwar einen Eindruck davon, was der Reflektor bewirken sollte, seine in Richtung auf die Stelle des Sensors konvexe Wölbung aber schien mir zu diesem Behufe eher ungeeignet, denn ich hatte den Eindruck, dass diese Form das auf den Brennpunkt gerichtete Strahlenbündel womöglich divergent reflektieren sollte.

Ich versuchte, mich an die in der Schulzeit gelernten Dinge über Kegelschnitte und deren Eigenschaften zu erinnern. Da war aber leider nicht mehr viel hängen geblieben. Immerhin war es noch einfach, den Strahlengang eines Lichtbündels aus parallel ankommenden Strahlen in einem "Parabolhohlspiegel" in einem ebenen Schnitt aufzuzeichnen:

Die parallel eintreffenden Strahlen werden also zum Brennpunkt reflektiert. In der Zeichnung hat die Parabel auch im Punkt P4 die Richtung der violett gezeichneten Tangente. Darauf lotrecht ist die schwarze Linie errichtet. In der Physik haben wir gelernt, dass Reflexion so funktioniert, dass der Winkel des einfallenden Strahls mit dem Lot (Einfallswinkel) gleich dem Reflexionswinkel sei (13.9 ° und 13.9 °). Der so eingezeichnete reflektierte Strahl schneidet nun tatsächlich die x-Achse schön genau im Brennpunkt. Ich unterstelle nun kühn, dass dies auch mit beliebigen anderen achsenparallel einfallenden Strahlen so sein wird!

In der Zeichnung wurde (von meinem CAD-Programm) die Neigung der Tangente gegen die x-Achse zu 76.1° gemessen. Dies sollte also die Steigung der Parabel in Punkt P4 sein. Ich konnte es nun doch nicht lassen, dies wenigstens rechnerisch zu überprüfen.

Wie man hier nachlesen kann, lautet die Gleichung für die Parabel mit dem Scheitelpunkt in x0,y0::

Für die obige Parabel wurden folgende Werte vorgegeben: f = 15, x0 = -10 und y0 = 0. Für Punkt P4 wurde gewählt:

P4: x4 = - 9.08 und damit ist y4 = 7.4296702484

Für die Steigung der obigen Tangente im Punkt mit dem Abszissenwert x gilt:

An der Stelle x = - 9.08 ergibt dies eine Steigung von m = 4.038, bzw. einen Steigungswinkel

zur x-Achse von 76.09 °, was ja gut zu dem Wert passt, den mein CAD-Programm in der obigen Skizze gemessen hat (76.1 °).

Über die Form des kleinen Sekundärreflektors (Cassegrain-Reflektor) fand ich hier den gesuchten Hinweis (dort wäre nach dem Suchbegriff "ein konvexes Hyperboloid" zu fahnden), dass es sich nämlich um ein Rotationshyperboloid handle. Darauf war nun der folgende Weg vorgezeichnet, wo ich von der mich interessierenden Eigenschaft von Hyperbeln lesen konnte, dass nämlich der reflektierende Hyperbelast (bzw. die Hyperboloidfläche) Strahlen in Richtung zu seinem Brennpunkt zum zweiten Brennpunkt hin reflektiere!

Hier habe ich eine Skizze angefertigt, die den Tatbestand aufzeigen soll:

Hier sind 2 Strahlen abgebildet (rot und blau), die von oben kommend auf den rechten Brennpunkt zielen. Ehe sie ihn aber erreichen, treffen sie auf den rechten Hyperbelast und werden reflektiert in Richtung auf den linken Brennpunkt, wo sie dann ankommen, wenn der linke Hyperbelast weggenommen ist.

Wieder möchte ich die obige Skizze mit einem Rechenbeispiel ergänzen:

Für die Hyperbel wähle ich gemäß dieser Information:

und die Ableitung lautet:

vorgegeben für obige Skizze waren: a = 3 und b = 4. Für den Auftreffpunkt des roten Strahl auf den rechten Hyperbelast wurde gewählt: xrot = 3.3541, woraus ein yrot = 2.00 resultiert. Der x-Wert des Auftreffpunktes vom blauen Strahl ist xblau = 5.4083 mit einem yblau = 6.00.

Der Steigungswinkel der Tangente im roten Auftreffpunkt beträgt atan(hs(3.3541)) = 71.46 ° und der entsprechende Winkel am blauen Auftreffpunkt ist rechnerisch atan(hs(5.4083)) = 58.03 ° also kann man vielleicht zufrieden sein, wenn es um die Übereinstimmung mit den entsprechenden Winkeln geht, die das CAD-Programm gemessen hat!

Die Zusammenführung der beiden Betrachtungen zur Reflexion an Paraboloid und Hyperboloid nehme ich nun in der Weise vor, dass ich dem Paraboloid ein Hyperboloid gegenüberstelle und zwar so, dass ich den Brennpunkt des Paraboloids und den rechten Brennpunkt des Hyperboloids zusammenfallen lasse. Daraus wird dann ein Strahlengang plausibel, wie ihn die folgende Skizze darstellt:

Wenn demnach die vom großen Paraboloidschirm zu seinem Brennpunkt reflektierten Strahlen auf die Oberfläche des Sekundärspiegels (Hyperboloid) treffen, werden sie von dort auf einen Punkt (den "linken Brennpunkt" des Hyperboloids) fokussiert, wo man dann den Sensor und ggf. auch den Strahler sehr wirksam anordnen kann.

Zum Abschluss dieser Berichte kann ich für mich feststellen, dass ich eine ganze Menge gelernt habe bei meinem Zufallsabenteuer. Schön wäre, wenn ich es auch behalten könnte, aber die Erfahrungen mit meinem Gedächtnis lassen mich da nur wenig optimistisch sein!

Die Seite wurde erstellt am 8.09.2005

Letzte Ergänzung am 12.08.2008