Spielereien zum Thema Projektive Transformation

Spielereien zum Thema projektive Transformation

Bei meinen Experimenten zur rechnerischen Beseitigung von "stürzenden Linien" in Fotografien spielte der Algorithmus der projektiven Transformation die entscheidende Rolle.

Bei der Aufnahme von Gebäudefassaden erweist sich nämlich, dass wegen sog. "perspektivischer Verzeichnung" parallele Kanten einer ebenen Fassadenfläche auf den Fotos nicht parallel verlaufen. Wir können also feststellen, dass das Foto einer solchen Fläche im Allgemeinen keine "parallelentreue" Abbildung einer Ebene auf eine andere ist. Im Allgemeinen - von weiteren kleineren Verzeichnungen mal abgesehen - ist ein solches Foto aber wenigstens "geradentreu", d.h. Punkte auf einer gemeinsamen geraden Linie der Originalfläche liegen auch auf der abgebildeten Fläche auf einer gemeinsamen Geraden. Aber schon wegen der mangelnden "Parallelentreue" sind solche Bilder natürlich zur Gewinnung von Längenmaßen nicht geeignet und müssen dazu erst über eine geeignete rechnerische Transformation in sog. "Orthofotos" umgerechnet werden, bei denen dann in Bezug auf die fotografierte Objektfläche sowohl die "Geradentreue" als auch die "Parallelentreue" gewährleistet ist.

Dazu wird für jeden Bildpunkt des Originalfotos, charakterisiert durch seine Quellkoordinaten x und y, im Zielbild eine neue Position mit den Zielkoordinaten X und Y berechnet.

Die Formel für den neuen X-Wert - bei gegebenem x- und y-Wert des Quellpunktes lautet:

und die Formel für den neuen Y-Wert - bei gegebenem x- und y-Wert des Quellpunktes heißt:

Es sind also insgesamt die folgenden 8 Parameter erforderlich, um zu jedem Quellpunkt des Originalfotos den zugehörigen Zielpunkt im Orthofoto zu berechnen. Die Parameter lauten:

a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3 und b3.

Es ist wohl verständlich, dass ich mich nach der "geometrischen Bedeutung" der 8 Parameter frage. Leider bin ich aber genau damit "ziemlich überfragt"!

Nun: Jeder halt nur so gut er kann! Was liegt daher näher als diese Frage durch "experimentelle Mathematik" etwas aufhellen zu wollen?

1. Ein Schachbrettmuster wird durch Projektive Transformation zu einem Bild "mit stürzenden Linien"

2. Acht Filmchen zeigen die Wirkungen der 8 Parameter beim Transformieren

3. Kleine Schönheitsfehler im Bild bei der Projektivtransformation

4. Ein Applet zeigt den Parametereinfluss interaktiv

5. In einem weiteren Applet kann man mit der Maus "an den Ecken des Bildes ziehen" und dabei die Verformung des Schachbrettbildes beobachten. Zum Vergleich kann auch eine bilineare Transformation erzeugt werden.

6. Applet als Rechenhilfe zur Gewinnung der 8 Parameter für eigene Projektivtransformationsexperimente.